"Muchas veces, cuando uno está leyendo algo de matemáticas tropieza con un problema: no entiende lo que leyó. Entonces, para, piensa y relee el texto. Y la mayoría de las veces, sigue sin entender. Uno no avanza. Quiere comprender, pero no puede. Lee el parrafó nuevamente. Piensa. Y dedica mucho tiempo (eventualmente)... hasta que de pronto... entiende... algo se abre en el cerebro de uno, algo se conecta... y uno pasa a entender. ¡Uno entiende! Pero no es todo: lo maravilloso es que uno no puede entender por qué no entendía antes."
"Ésa es una reflexión que merece en algún momento una respuesta. ¿Qué nos detiene? ¿Por qué no entendemos en un momento y después sí? ¿Por qué? ¿Qué pasa en nuestro cerebro? ¿Qué conexiones se producen? ¿Qué es lo que juega para que durante un buen rato no entendamos algo y, de pronto, se produzca un "click" y pasemos a entender? ¿No es maravilloso ponerse a pensar por qué uno no entendía antes? ¿Se podrá reproducir esto? ¿Se podrá utilizar esto para cooperar con la comprensión de otra persona? ¿Servirá la experiencia de uno para mejorar la velocidad y profundidad de aprendizaje de otro?"
"La Importancia de la Memoria en el Estudio de las Matemáticas
Con relación a las matemáticas en nuestra sociedad aún existen los más extraños prejuicios. Unos dicen que solamente personas de gran talento, pueden dedicarse a las matemáticas; otros afirman que para ello es preciso tener una "memoria matemática" especial que permita recordar las fórmulas, etc.
Claro que no se puede negar que existen cerebros con grandes inclinaciones hacia una u otra actividad mental. Pero tampoco se puede afirmar que haya cerebros normales, absolutamente incapaces a la percepción y completa asimilación de los conocimientos matemáticos indispensables, por lo menos en la magnitud del programa para la escuela media.
Seamos justos y reconozcamos por fin que la expresión "incapaz para las matemáticas" es, ante todo, un producto amargo de nuestra inhabilidad y, posiblemente a veces, de nuestra ligereza y falta de deseo en situar la enseñanza de las matemáticas, tanto en la familia como en la escuela, a la altura correspondiente.
Es aún menos prudente hablar sobre la necesidad de una memoria exclusiva o especial para el estudio de las matemáticas, que permita retener (¿aprender de memoria?) unas fórmulas o reglas, para convertir una ciencia consciente y consecuente, en cuanto al pensamiento lógico, en un proceso mecánico e inconsciente. Mientras tanto, cuan lejos puede llegar el asunto con una actitud así, como lo atestigua el conocido matemático ruso V. P. Ermakov. He aquí lo que él comunicaba a la sociedad fisicomatemática de Kiev en uno de sus informes."Cuando enseñaba a los estudiantes el cálculo integral, ya durante el primer año tuvo lugar un episodio que quedó en mi memoria para siempre.
Después de exponer parte de la teoría, para aclararla, planteo problemas. Propongo a los estudiantes que resuelvan estos problemas en sus cuadernos y a medida que se van resolviendo escribo los resultados en la pizarra. Un día, con el fin de aclarar los procedimientos para la reducción de integrales binominales, escribí en la pizarra un problema adecuado. Al momento observo que algunos estudiantes sacan de los bolsillos unas libretas y las consultan.
- ¿Qué es eso?-
Las fórmulas generales.
- ¿Para qué?
- A nosotros el profesor anterior nos aconsejó tener una lista de las fórmulas generales y por ellas resolver ejercicios particulares. Pues no va usted a exigir que aprendamos de memoria las cuarenta fórmulas generales.
- En matemáticas no es necesario aprender de memoria ninguna fórmula. Pero considero también innecesario utilizar material de consulta para hallar integrales, mediante fórmulas generales, introduciendo en ellas los valores de los exponentes y coeficientes. Pues como no nos han caído del cielo las fórmulas generales, ya que para su deducción ustedes utilizaron una serie de razonamientos, utilicen los mismos razonamientos en la resolución de los ejercicios particulares.
De tal forma, resultó posible hallar cualquier integral sin necesidad de utilizar las fórmulas generales, aunque fue preciso modificar algunos cálculos de tal manera que pudieran ser aplicados directamente a los ejemplos particulares. Se tuvo también la ventaja que en cada ejercicio particular los estudiantes repetían los mismos razonamientos, necesarios para deducir la fórmula general. A consecuencia de ello fueron adquiriendo cierto hábito y, como resultado, rapidez en la resolución de los ejercicios. Este episodio me obligó a profundizar más en la naturaleza de las matemáticas.
Siendo joven, yo también dedicaba toda la atención a los resultados finales. Al examinar una demostración, procuraba cerciorarme solamente de su rigurosidad. ¡Llegar al resultado final y basta! Después me esmeraba en recordar las conclusiones finales, ya que el proceso de la demostración se me esfumaba rápidamente. Pero con el tiempo, olvidaba también las fórmulas, que con frecuencia resultaban necesarias en la continuación de mis estudios. ¿Qué remedio me quedaba? ¿Formar una biblioteca de manuales? Pero para ello no tenía los medios suficientes y además no disponía de un local adecuado. Forzosamente me vi obligado a recordar el proceso mediante el cual se deducía una u otra fórmula. Así, pues, en lugar de fórmulas, poco a poco pasé a sus deducciones. Resultó que era más fácil recordar el proceso del cálculo matemático que simplemente las fórmulas como tales. Además no era necesario memorizar todo el proceso, sino que bastaba con trazar los puntos de las etapas por las cuales debería dirigirse el pensamiento. Desde entonces, hace ya varios años que afirmo a mis oyentes que en las matemáticas deben recordar no las fórmulas sino, el proceso de su deducción.
Después de exponer uno u otro capitulo de la geometría analítica, les dicto a los estudiantes el contenido de los apuntes en los cuales sin dar fórmulas, enuncio los puntos principales de cálculo.
Si está claro el proceso del cálculo matemático, la obtención de las fórmulas es ya un hecho simplemente mecánico. En cuanto al mecanismo de las operaciones algebraicas, los estudiantes deben obtener ya hábito en la escuela media. Llegué a la convicción que el principio expuesto por mí debe ser utilizado en la escuela media..."
Continuemos la idea de V. P. Ermakov y digamos que el principio indicado debe ser tomado como base para la enseñanza en el tren de las matemáticas, tanto en la familia, como en la escuela. No se empeñen en enseñarles a niños o jóvenes el estudio de distintas "tablas" de sumar, restar, multiplicar; en la memorización mecánica de diferentes "reglas" y fórmulas, sino que, ante todo, acostúmbrenles a pensar con placer y conciencia. Lo demás se añadirá con el tiempo. No molesten a nadie con cálculos y ejercicios mecánicos muy largos y aburridos.
Cuando a alguien le sean necesarios en la vida, los hará por sí solo. Además ahora para ello hay distintas máquinas calculadoras, tablas y otros dispositivos."
